因子分析¶

因子分析是一种常用的统计分析方法，用于探究多个变量之间的关系，识别其中存在的共性因素，并将它们组合成更少的维度（因子）来解释这些变量的变异。

举例来说，假设我们有一份问卷调查数据，包含了多个关于个人健康状况的问题，例如体重、身高、运动频率、饮食习惯等。这些变量之间可能存在着某些相互关联的关系，比如身高和体重可能呈现正相关关系，而饮食习惯和健康状况可能也存在着一定的联系。

通过因子分析，我们可以识别出其中的共性因素，例如“身体健康”这个因素，它可能包含体重、身高、运动频率等变量，同时“饮食习惯”这个因素，它可能包含饮食结构、水果蔬菜摄入量等变量。通过将这些变量组合成更少的维度（即因子），我们可以更好地理解这些变量之间的关系，同时也可以减少对于变量的测量误差和分析复杂度。

与主成分分析PCA的关系¶

因子分析和主成分分析都是用于数据降维的方法，它们有一定的相似性，但是它们的目标和实现方式不同。

主成分分析是一种线性变换方法，它的主要目标是将高维度数据降维到低维度空间中，并尽量保留原始数据的信息，即通过找到能够解释数据方差最多的几个主成分来代表原始数据。主成分分析通常适用于数值型数据，它能够识别出变量之间的线性关系，但无法处理非线性关系。

而因子分析则更侧重于探究多个变量之间的共性因素，以便更好地理解这些变量之间的关系。因子分析通常适用于观测到的变量，能够找到潜在的因子，以便更好地解释原始数据，但是它无法保留所有的原始数据信息。

因子分析步骤¶

应用因子分析法的主要步骤如下：

  • 对所给的数据样本进行标准化处理
  • 计算样本的相关矩阵R
  • 求相关矩阵R的特征值、特征向量
  • 根据系统要求的累积贡献度确定主因子的个数
  • 计算因子载荷矩阵A
  • 最终确定因子模型

factor_analyzer库¶

利用Python进行因子分析的核心库是：factor_analyzer.安装方式为：pip install factor_analyzer.它提供了一系列函数和类，可以用来执行各种因子分析技术，如主成分分析、最小偏差法、极大似然估计法等，以及进行因子旋转、因子得分计算等。该库也提供了多个方法来查看因子分析的结果，如因子载荷、共性方差、因子方差等。以下是一些常用的方法：

  • loadings_：返回因子载荷矩阵，表示每个变量与每个因子的相关性。
  • get_communalities()：返回每个变量的共性方差，即被所有因子共同解释的方差。
  • get_factor_variance()：返回每个因子的方差解释比例，即每个因子解释的总方差占总方差的比例。
  • get_eigenvalues()：返回每个因子的特征值，表示每个因子可以解释的方差量。

这里使用一份学生成绩数据进行上述库操作的介绍,先导入库

# 数据处理
import pandas as pd
import numpy as np

# 绘图
import seaborn as sns
import matplotlib.pyplot as plt

plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 指定默认字体
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 解决保存图像是负号'-'显示为方块的问题
# 因子分析
from factor_analyzer import FactorAnalyzer

再导入数据

df = pd.read_excel('data/grades2.xlsx',index_col=0).iloc[:,:-3]
df = df.dropna()
df.head()
考号 语文 数学 英语 物理 化学 生物
532 117 142 136.5 95 88 78
430 120 136 136.5 90 86 79
322 121 142 131 88 78 74
213 110 135 135.5 91 86 85
319 116 128 132 90 99 82
407 120 125 140 83 77 82
207 126 120 134 83 87 84
126 108 141 127.5 97 74 80
144 123 129 123.5 87 81 80
524 120 127 137 86 72 70

充分性检测¶

在进行因子分析之前，需要先进行充分性检测，主要是检验相关特征阵中各个变量间的相关性，是否为单位矩阵，也就是检验各个变量是否各自独立。

Bartlett's球状检验¶

检验总体变量的相关矩阵是否是单位阵（相关系数矩阵对角线的所有元素均为1,所有非对角线上的元素均为零）；即检验各个变量是否各自独立。

from factor_analyzer.factor_analyzer import calculate_bartlett_sphericity

chi_square_value, p_value = calculate_bartlett_sphericity(df)
chi_square_value, p_value

(638.4878993629553, 2.3317604587216965e-126)

如果不是单位矩阵，说明原变量之间存在相关性，可以进行因子分子；反之，原变量之间不存在相关性，数据不适合进行因子分析

KMO检验¶

检查变量间的相关性和偏相关性，取值在0-1之间；KOM统计量越接近1，变量间的相关性越强，偏相关性越弱，因子分析的效果越好。

通常取值从0.6开始进行因子分析

#KMO检验
from factor_analyzer.factor_analyzer import calculate_kmo
kmo_all,kmo_model=calculate_kmo(df)
kmo_model

0.8849915684323234

通过结果可以看到KMO大于0.6，也说明变量之间存在相关性，可以进行分析。

选择因子个数¶

方法：计算相关矩阵的特征值，进行降序排列

特征值和特征向量¶

faa = FactorAnalyzer(25,rotation=None)
faa.fit(df)

# 得到特征值ev、特征向量v
ev,v=faa.get_eigenvalues()
ev,v

(array([3.76054785, 0.731497 , 0.44376006, 0.38913686, 0.37077393, 0.3042843 ]), array([ 3.42509954e+00, 3.41626411e-01, 8.52906289e-02, 4.38265635e-02, 3.81444552e-02, -8.44783046e-07]))

可视化展示¶

将特征值和因子个数的变化绘制成图形

# 同样的数据绘制散点图和折线图
plt.scatter(range(1, df.shape[1] + 1), ev)
plt.plot(range(1, df.shape[1] + 1), ev)

# 显示图的标题和xy轴的名字
# 最好使用英文，中文可能乱码
plt.title("Scree Plot")  
plt.xlabel("Factors")
plt.ylabel("Eigenvalue")

plt.grid()  # 显示网格
plt.show()  # 显示图形

因子旋转¶

建立因子分析模型¶

在这里选择，最大方差化因子旋转.

# 选择方式： varimax 方差最大化
# 选择固定因子为 2 个
faa_two = FactorAnalyzer(2,rotation='varimax')
faa_two.fit(df)
# 公因子方差
faa_two.get_communalities()

array([0.51896216, 0.61041414, 0.62124855, 0.60977056, 0.6656627 , 0.68163346])

ratation参数的其他取值情况：

  • varimax (orthogonal rotation)
  • promax (oblique rotation)
  • oblimin (oblique rotation)
  • oblimax (orthogonal rotation)
  • quartimin (oblique rotation)
  • quartimax (orthogonal rotation)
  • equamax (orthogonal rotation)

查看因子方差-get_communalities()¶

查看公因子方差

# 公因子方差
faa_two.get_communalities()

array([0.51896216, 0.61041414, 0.62124855, 0.60977056, 0.6656627 , 0.68163346])

查看旋转后的特征值¶

faa_two.get_eigenvalues()

查看成分矩阵¶

查看它们构成的成分矩阵

# 变量个数*因子个数
faa_two.loadings_

查看因子贡献率¶

通过理论部分的解释，我们发现每个因子都对变量有一定的贡献，存在某个贡献度的值，在这里查看3个和贡献度相关的指标：

  • 总方差贡献：variance (numpy array) – The factor variances
  • 方差贡献率：proportional_variance (numpy array) – The proportional factor variances
  • 累积方差贡献率：cumulative_variances (numpy array) – The cumulative factor variances
faa_two.get_factor_variance()

隐藏变量可视化¶

为了更直观地观察每个隐藏变量和哪些特征的关系比较大，进行可视化展示，为了方便取上面相关系数的绝对值：

df1 = pd.DataFrame(np.abs(faa_two.loadings_),index=df.columns)
# 绘图
ax = sns.heatmap(df1, annot=True, cmap="BuPu")

# 设置y轴字体大小
ax.yaxis.set_tick_params(labelsize=15)
plt.title("Factor Analysis", fontsize="xx-large")

# 设置y轴标签
plt.ylabel("Sepal Width", fontsize="xx-large")
# 显示图片
plt.show()

转成新变量¶

上面我们已经知道了2个因子比较合适，可以将原始数据转成2个新的特征，具体转换方式为：

df2 = pd.DataFrame(faa_two.transform(df))
0 1
0 1.08945 1.44028
1 1.28298 1.12287
2 0.981882 1.05373
3 1.01176 1.35829
4 1.2519 1.27035
5 1.47917 0.607756
6 1.6684 0.657462
7 0.350665 1.61349
8 1.01576 0.998846
9 1.06597 0.576816

参考资料

  • 洋洋菜鸟 因子分析——python https://blog.csdn.net/qq_25990967/article/details/122566533
In [2]:
# 数据处理
import pandas as pd
import numpy as np
 
# 绘图
import seaborn as sns
import matplotlib.pyplot as plt
 
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 指定默认字体
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 解决保存图像是负号'-'显示为方块的问题
# 因子分析
from factor_analyzer import FactorAnalyzer
In [3]:
df = pd.read_excel('data/grades2.xlsx',index_col=0).iloc[:,:-3]
df = df.dropna()
In [4]:
df.info()

<class 'pandas.core.frame.DataFrame'>
Int64Index: 220 entries, 193000532 to 194000234
Data columns (total 6 columns):
 #   Column  Non-Null Count  Dtype  
---  ------  --------------  -----  
 0   语文      220 non-null    int64  
 1   数学      220 non-null    int64  
 2   英语      220 non-null    float64
 3   物理      220 non-null    float64
 4   化学      220 non-null    float64
 5   生物      220 non-null    float64
dtypes: float64(4), int64(2)
memory usage: 12.0 KB
In [5]:
from factor_analyzer.factor_analyzer import calculate_bartlett_sphericity
 
chi_square_value, p_value = calculate_bartlett_sphericity(df)
chi_square_value, p_value
Out[5]:
(632.5790053159449, 4.213290629381875e-125)
In [6]:
#KMO检验
from factor_analyzer.factor_analyzer import calculate_kmo
kmo_all,kmo_model=calculate_kmo(df)
kmo_model
Out[6]:
0.8859157158309541
In [11]:
faa = FactorAnalyzer(25,rotation=None)
faa.fit(df)
 
# 得到特征值ev、特征向量v
ev,v=faa.get_eigenvalues()
ev,v
Out[11]:
(array([3.76054785, 0.731497  , 0.44376006, 0.38913686, 0.37077393,
        0.3042843 ]),
 array([ 3.42509954e+00,  3.41626411e-01,  8.52906289e-02,  4.38265635e-02,
         3.81444552e-02, -8.44783046e-07]))
In [12]:
 # 同样的数据绘制散点图和折线图
plt.scatter(range(1, df.shape[1] + 1), ev)
plt.plot(range(1, df.shape[1] + 1), ev)
 
# 显示图的标题和xy轴的名字
# 最好使用英文，中文可能乱码
plt.title("Scree Plot")  
plt.xlabel("Factors")
plt.ylabel("Eigenvalue")
 
plt.grid()  # 显示网格
plt.show()  # 显示图形
In [13]:
# 选择方式： varimax 方差最大化
# 选择固定因子为 2 个
faa_two = FactorAnalyzer(2,rotation='varimax')
faa_two.fit(df)
Out[13]:
FactorAnalyzer(n_factors=2, rotation='varimax', rotation_kwargs={})
In [14]:
# 公因子方差
faa_two.get_communalities()
Out[14]:
array([0.51896216, 0.61041414, 0.62124855, 0.60977056, 0.6656627 ,
       0.68163346])
In [15]:
pd.DataFrame(faa_two.get_communalities(),index=df.columns)
Out[15]:
0
语文 0.518962
数学 0.610414
英语 0.621249
物理 0.609771
化学 0.665663
生物 0.681633
In [16]:
faa_two.get_eigenvalues()
Out[16]:
(array([3.76054785, 0.731497  , 0.44376006, 0.38913686, 0.37077393,
        0.3042843 ]),
 array([ 3.38462778,  0.32306269,  0.03554346,  0.01132939, -0.01696077,
        -0.02991098]))
In [17]:
pd.DataFrame(faa_two.get_eigenvalues())
Out[17]:
0 1 2 3 4 5
0 3.760548 0.731497 0.443760 0.389137 0.370774 0.304284
1 3.384628 0.323063 0.035543 0.011329 -0.016961 -0.029911
In [18]:
# 变量个数*因子个数
faa_two.loadings_
Out[18]:
array([[0.65864126, 0.29181132],
       [0.39811093, 0.67225131],
       [0.73327534, 0.28906024],
       [0.25112045, 0.73939778],
       [0.59534374, 0.55787859],
       [0.60115   , 0.56590824]])
In [19]:
pd.DataFrame(faa_two.loadings_,index=df.columns)
Out[19]:
0 1
语文 0.658641 0.291811
数学 0.398111 0.672251
英语 0.733275 0.289060
物理 0.251120 0.739398
化学 0.595344 0.557879
生物 0.601150 0.565908
In [20]:
faa_two.get_factor_variance()
Out[20]:
(array([1.90887032, 1.79882124]),
 array([0.31814505, 0.29980354]),
 array([0.31814505, 0.61794859]))
In [21]:
df1 = pd.DataFrame(np.abs(faa_two.loadings_),index=df.columns)
df1
Out[21]:
0 1
语文 0.658641 0.291811
数学 0.398111 0.672251
英语 0.733275 0.289060
物理 0.251120 0.739398
化学 0.595344 0.557879
生物 0.601150 0.565908
In [22]:
# 绘图
ax = sns.heatmap(df1, annot=True, cmap="BuPu")
 
# 设置y轴字体大小
ax.yaxis.set_tick_params(labelsize=15)
plt.title("Factor Analysis", fontsize="xx-large")
 
# 设置y轴标签
plt.ylabel("Sepal Width", fontsize="xx-large")
# 显示图片
plt.show()
 
# 保存图片
# plt.savefig("factorAnalysis", dpi=500)
In [23]:
faa_two.transform(df)
Out[23]:
array([[ 1.08945288e+00,  1.44027576e+00],
       [ 1.28297922e+00,  1.12286513e+00],
       [ 9.81882460e-01,  1.05373341e+00],
       [ 1.01176271e+00,  1.35828922e+00],
       [ 1.25190314e+00,  1.27035360e+00],
       [ 1.47916949e+00,  6.07756401e-01],
       [ 1.66840158e+00,  6.57461515e-01],
       [ 3.50664941e-01,  1.61349238e+00],
       [ 1.01576388e+00,  9.98845598e-01],
       [ 1.06596648e+00,  5.76816242e-01],
       [ 5.36797196e-01,  1.28993995e+00],
       [ 4.84084571e-01,  1.49562759e+00],
       [ 8.11063369e-01,  1.45396597e+00],
       [ 6.09444272e-01,  1.34992274e+00],
       [ 9.35975375e-01,  1.03592247e+00],
       [ 3.97875915e-01,  1.52677274e+00],
       [ 1.02033764e-01,  1.26303534e+00],
       [ 4.70500271e-01,  7.28530656e-01],
       [ 5.77062853e-01,  8.67012058e-01],
       [ 7.79018711e-01,  6.82649258e-01],
       [ 1.13513851e+00,  2.62999531e-01],
       [ 8.67865100e-01,  8.53702022e-01],
       [ 2.77636282e-01,  1.14087853e+00],
       [ 8.04711698e-01,  6.46230442e-01],
       [ 3.22199954e-01,  9.58588086e-01],
       [ 1.09934858e+00,  4.92246364e-01],
       [ 8.02229103e-01,  5.24663924e-01],
       [ 5.47052898e-01,  6.83590517e-01],
       [ 5.96601161e-01,  1.05840146e+00],
       [ 1.05737998e+00,  3.22028895e-01],
       [ 7.60952794e-01,  7.34528011e-01],
       [ 7.96197980e-01,  8.43817068e-01],
       [ 4.59821124e-01,  9.56094908e-01],
       [ 5.39496957e-01,  1.14297920e+00],
       [ 5.06955178e-01,  7.33981341e-01],
       [ 5.57879357e-01,  9.73203187e-01],
       [ 2.01498866e-01,  1.47570694e+00],
       [ 1.41024637e+00, -6.81422737e-02],
       [ 1.57845360e-01,  9.31698295e-01],
       [ 1.02212769e+00,  2.23482876e-01],
       [ 3.84658282e-01,  9.18249482e-01],
       [ 3.86757895e-01,  1.15781102e+00],
       [ 3.56392546e-01,  4.28505292e-01],
       [ 3.67185849e-01,  6.19167467e-01],
       [ 7.86181224e-01,  3.99844663e-01],
       [ 2.91057407e-01,  1.35638983e+00],
       [ 1.81963885e-01,  9.66175064e-01],
       [ 7.54361327e-01,  3.33111071e-01],
       [ 3.46307744e-01,  3.59724734e-01],
       [ 6.46661619e-02,  8.27530260e-01],
       [ 6.82493542e-01,  4.32297755e-01],
       [ 4.74298726e-01,  2.87958915e-01],
       [ 4.86911784e-01,  5.96514706e-01],
       [ 3.33101638e-01,  7.53490197e-01],
       [ 9.18960293e-01,  1.81876681e-01],
       [ 1.21984743e+00, -1.04349825e-01],
       [ 3.23968577e-03,  9.48425761e-01],
       [ 8.22300003e-01, -2.70624478e-01],
       [ 9.08032179e-01, -1.02996743e-01],
       [ 7.45635478e-01,  2.30050875e-01],
       [ 6.80522409e-01,  1.89020431e-01],
       [ 2.81230271e-01,  4.87765169e-01],
       [ 5.15765784e-01, -9.71952702e-02],
       [ 1.30970476e+00, -5.25842932e-01],
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       [ 1.81540705e-01,  6.71920379e-01],
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       [-1.20461400e+00,  7.82385277e-01],
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       [-3.93675491e+00, -2.41027667e+00]])
In [24]:
df2 = pd.DataFrame(faa_two.transform(df))
df2
Out[24]:
0 1
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... ... ...
215 -1.846795 -0.999994
216 -1.090341 -1.820237
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218 -0.927873 -2.505733
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220 rows × 2 columns

In [25]:
print(df2.head(10).to_markdown())

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|---:|---------:|---------:|
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|  8 | 1.01576  | 0.998846 |
|  9 | 1.06597  | 0.576816 |
In [ ]: